5e primaire à 2e secondaire
Solides et Figures
90 minutes ou 2 périodes de 50 minutes
Sur site
Construire, observer, raisonner. Voilà ce que vivent les élèves lors de cet atelier immersif autour des solides de Platon.
À l’aide des Polydron©, un matériel innovant et ludique, ils donnent vie aux cinq célèbres solides réguliers. Chaque forme devient un prétexte pour explorer, manipuler, tester des hypothèses… et faire des maths autrement.
Pourquoi ces cinq solides sont-ils si particuliers ?
Quelles propriétés doivent-ils respecter pour appartenir à la famille exclusive des « solides de Platon » ?
Durant l’animation, les élèves découvrent les critères géométriques, dénombrent sommets, arêtes et faces, et expérimentent la formule d’Euler. Une manière concrète d’entrer dans la géométrie, aux côtés de deux géants des mathématiques : Platon et Euler.
Explorer l’histoire des mathématiques en découvrant des éléments de la vie de Platon et du contexte culturel de son époque.
Maîtriser un vocabulaire précis lié à la géométrie : faces, arêtes, sommets, polyèdres, régularité…
Construire des polyèdres réguliers à l’aide des Polydron©, en respectant des contraintes géométriques de plus en plus complexes.
Synthétiser les découvertes sur une affiche collective, mémoire visuelle et collaborative de l’activité.
Identifier les caractéristiques des solides de Platon et comprendre ce qui les rend uniques.
Découvrir et expérimenter la formule d’Euler liant le nombre de faces, d’arêtes et de sommets : une porte d’entrée vers la pensée mathématique structurée.
RÉFÉRENTIEL DE FORMATION MANUELLE, TECHNIQUE, TECHNOLOGIQUE ET NUMÉRIQUE "TRONC COMMUN"
| Champ 1 : Des objets de l’espace à la géométrie | Bloc 2 : Appréhender et représenter des objets de l’espace |
| Savoir : Les figures, leurs composantes, leurs caractéristiques et leurs propriétés. | Identifier : les quadrilatères ; les triangles ; des polygones réguliers : pentagone, hexagone, octogone, décagone. |
| Savoir : Les solides, leurs composantes, leurs caractéristiques et leurs représentations planes. |
Identifier des solides : cube, parallélépipède rectangle, pyramide, tétraèdre, prisme droit, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre… Identifier les composantes des solides travaillés : faces, arêtes, sommets. Énoncer des caractéristiques des solides travaillés : nombre de faces, forme des faces, des faces isométriques, faces parallèles, faces perpendiculaires. |
| Savoir-faire : Construire des solides et des figures avec du matériel varié. | Construire des prismes droits et des pyramides avec du matériel géométrique varié (faces à attacher, tiges et boules à assembler…). |
| Domaines transversaux | |
| Apprendre à apprendre | Observer, comparer, raisonner, conceptualiser, abstraire |
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Conscience des apprentissages :
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| Développer la créativité et l’esprit d’entreprendre | Découvrir différentes techniques et stratégies pour résoudre les tâches. |
http://www.enseignement.be/public/docs/r-f-rentiel-de-formation-manuelle-technique-technologique-et-num-rique-fmttn-.pdf
Les participants font une surprenante rencontre avec Platon, grand mathématicien grec.
Celui-ci les met au défi de découvrir les solides qui portent son nom, les solides de Platon !
Mais combien devons-nous en trouver ?
Platon reprend la parole à plusieurs reprises afin de préciser les conditions nécessaires…
La manipulation de matériel de construction concret permet d’expérimenter, d’observer, de tester leurs hypothèses.
Ils trouvent sans aucune difficulté le cube et le tétraèdre mais devront faire preuve de perspicacité et d’esprit d’équipe pour venir à bout de l’octaèdre, du dodécaèdre et surtout du terrible icosaèdre !
Ils recherchent ensuite les raisons qui limitent le nombre de solides de Platon à 5.
En effet pourquoi ne pas construire un solide uniquement avec des hexagones ?
Essayez et vous comprendrez !
Des notions d’angles sont rencontrées, ainsi que des procédures pour calculer facilement le nombre d’arêtes et de sommets sur ces solides particuliers.
Enfin, c’est le célèbre mathématicien Euler qui vient à leur rescousse afin de vérifier si leur affiche est correctement complétée !
- Platon a fondé son école (la première Académie) en 387 avant JC, à Athènes. Il y a enseigné pendant une quarantaine d’années la philosophie, l’astronomie, et surtout, la géométrie. D’ailleurs, au fronton de son académie était gravé la phrase : « Nul n’entre ici s’il n’est géomètre »
- Pour Platon, le monde s’appuie sur cinq éléments essentiels : le Feu, l’Air, l’Eau, la Terre et l’Univers. Il associe à chacun d’eux un polyèdre régulier inscriptible dans une sphère.
- Les trois conditions nécessaires pour tout solide de Platon sont :
–Toutes ses faces sont des polygones réguliers isométriques ;
–Toutes les arêtes sont de même longueur ;
–Tous les sommets sont exactement pareils, c’est-à-dire qu’ils interceptent le même nombre de faces ;
–Il en existe seulement cinq : le tétraèdre, l’octaèdre, l’icosaèdre, le cube et le dodécaèdre.
- Il est possible de déduire le nombre d’arêtes et de sommets à partir du nombre de faces. Prenons l’exemple du dodécaèdre : il possède 12 faces pentagonales.
–Chaque face comporte 5 côtés. Mais une arête est à l’intersection de 2 faces. Pour connaître le nombre d’arêtes, on peut donc multiplier 5 par douze et diviser ce résultat par 2, ce qui nous donne 30 arêtes !
–Chaque face comporte 5 sommets. Mais un sommet est à l’intersection de 3 faces. Pour connaître le nombre de sommets, on peut donc multiplier 5 par douze et diviser ce résultat par 3, ce qui nous donne 20 sommets !
- Une formule très simple, qui sera démontrée plus de 2000 ans après la mort de Platon, en 1752, par le grand mathématicien Leonhard Euler, permet de vérifier ces calculs :
Soit un nombre F de faces, A d’arêtes et S de sommets : F + S – A = 2
Vérifions pour le dodécaèdre : 12 + 20 -30 = 2. C’est bien exact !
- La raison pour laquelle il n’existe que 5 solides de Platon peut être consultée sur le site ci-dessous :
https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/geometrie/les-solides-de-platon
Sites internet
- Ce site est une mine d’or pour trouver des patrons de boîtes à imprimer et les ajuster aux dimensions souhaitées !
https://www.templatemaker.nl/fr/exploding-box/
- Site internet proposant des modèles en papier de polyèdres
Applications en ligne
- Une application qui permet de visionner en réalité augmentée des solides.
Après avoir imprimé des cartes, il suffira de les scanner à l’aide de l’application pour voir les solides en réalité augmentée. Des séquences pédagogiques sont proposées pour l’utilisation de l’application par les élèves.
https://mirage.ticedu.fr/?p=2635
Liens vidéo
- Une vidéo de Mickael Launay à propos des solides de Platon. Elle explique et prouve l’existence des 5 polyèdres réguliers.
https://www.youtube.com/watch?v=eDsFmYur9Yo
- Reformer un solide en tirant sur une ficelle passée astucieusement sur certains points du développement.
